تمارين

تمرين 005 (الإتصال)

لتكن $f$ دالة عددية معرفة و متصلة على $\mathbb{R}$ و نفترض ان $\exists a \in \mathbb{R} / $fof$(a)=a$
بين ان $\exists c \in \mathbb{R} / f(c)=c$

تعليق واحد

تمرين
احسب النهاية التالية $\lim_{x\Rightarrow \frac{\pi}{2}} \prod_{k=1}^{n}\frac{1-sin^k(x)}{cos^2(x)}$
.
.
.
.
.
.
.
.
.
الحل:
لدينا : $\frac{1-sin^k(x)}{cos^2(x)}=\frac{1-sin^k(x)}{1-sin^2(x)}=\frac{(1-sin(x))(\sum_{p=0}^{k-1}(sin^p(x))}{(1-sin(x))(1+sin(x))}$
اذن: $\lim_{x\Rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1-sin^k(x)}{cos^2(x)}=\lim_{x\Rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\sum_{p=0}^{k-1}(sin^p(x))}{1+sin(x)}=\frac{k}{2}$
ومنه : [tex]\lim_{x\Rightarrow \frac{\pi}{2}} \prod_{k=1}^{n}\frac{1-sin^k(x)}{cos^2(x)}

لج أو تسجل لتعلق
اقرأ المزيد

تمرين 003 (النهايات و الإتصال)

[b][=15]تمرين :

لتكن $f$ دالة عددية متصلة على $R$
بحيث : $\lim_{x\to +\infty}f(x)=a$ و $\lim_{x\to -\infty}f(x)=b$ مع : $ab<0$
بين ان: $\exists(\omega,\gamma)\in R^2 / f(\omega).f(\gamma)<0$
و استنتج ان المعادلة $f(x)=0$ تقبل على الاقل حلا في $R$

.
.
.
.
.
.
الحل
[center]نفترض ان $a>0$ و $b<0$ .
ليكن $\epsilon >0$

لج أو تسجل لتعلق
اقرأ المزيد

تمرين 002 (الإتصال)

تمرين :
[center]ليكن $(x,y)\in R$
بحيث: $f(x+y)=f(x)+f(y)$
بين ان: الدالة $f$ متصلة على 0 $\Leftarrow$ الدالة $f$ متصلة على R

الحل:
لدينا $f$ متصلة على 0 اذن: $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)$

ولدينا: $\forall(x,y)\in R : f(x+y)=f(x)+f(y)$
اذن من اجل $x=y=0$ نجد $f(0)=0$
لنبين ان $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$
ليكن $x_0\in R$ :
لدينا: $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim_{h\rightarrow 0}f(x_0+h)=\lim_{h\rightarrow 0}\big(f(x_0)+f(h)\big)$

لج أو تسجل لتعلق
اقرأ المزيد

حساب نهاية متلتية 2

[=15][b]تمرين
نضع

$f_n(x)=\frac{1-\prod_{k=1}^{n}cos^k(kx)}{x^2}$
لنحسب نهاية $f_n$ عند0
بواسطة الترجع يمكن البرهنة ان

$f_n(x)=\sum_{k=1}^{n}(\prod_{p=0}^{k-1}cos^p(px))\frac{1-cos^k(kx)}{x^2}$
لدينا

$\lim_{x\to0}\prod_{p=0}^{k-1}cos^p(px)=1$
ولدينا

$\frac{1-cos^k(kx)}{x^2}=k^2\frac{1-cos(kx)}{(kx)^2}\sum_{i=0}^{k-1}cos^i(kx)$
و

$\lim_{x\to0}\sum_{i=0}^{k-1}cos^i(kx)=k$
و

$\lim_{x\to0}\frac{1-cos(kx)}{(kx)^2}=\frac{1}{2}$
ادن

لج أو تسجل لتعلق
اقرأ المزيد

تمرين 002 (حساب نهاية مثلثية)

[=15]التمرين :
نضع $F_n(x)=\frac{1-\prod_{k=1}^{n}cos(kx)}{x^2}$

لنحسب $\lim_{x\to 0}F_n(x)$
.
.
.
الحل:
يمكن البرهنة بالترجع ان
$F_n(x)=\sum_{k=1}^{n}\bigg(\prod_{p=0}^{k-1}cos(px)\big(\frac{1-cos(kx)}{x^2}\big)\bigg)$