Chapitre 05 : Polynômes et fractions rationnelles

POLYNÔMES:

> restart;

Un polynôme a le type polynom , et peut avoir plusieurs variables :

> P:=-7*x+5*x^2+75*x^3;Q:=x*(2*x-3*y)^2*(x-y);

> type(P,polynom),whattype(P),whattype(Q);

nops(P) donne le nombre de termes selon la forme , développée ou factorisée , de P :

> nops(P),nops(Q);

op(P) donne sous forme de séquence les termes ou les facteurs de P :

> op(P);op(Q);

Coefficients , degré , valuation:
Les 2 syntaxes sont équivalentes:

> coeff(P,x^3);

> coeff(P,x,3);

Obtenir tous les coefficients de P (valable lorsque P est sous forme développée)

> coeffs(P);coeffs(Q);

Error, invalid arguments to coeffs

> coeffs(expand(Q));

Coefficient du terme de plus haut (de plus bas) degré:

> lcoeff(P),tcoeff(P);

> lcoeff(Q,y),tcoeff(Q,y);

Degré et valuation:

> degree(P),degree(Q,x),degree(Q,y);

> ldegree(P),ldegree(Q,x),ldegree(Q,y);

FONCTIONS SUR LES POLYNÔMES:

quo(P,Q,x,'r') : quotient de la division euclidienne de P par Q , variable x , 'r' (optionnel)

variable non assignée recevant le reste .

> quo(x^5-1,x^2+x+1,x, 'r');r;

rem(P,Q,x,'q') : reste de la division euclidienne de P par Q , variable x , 'q' (optionnel)

variable non assignée recevant le quotient .

> rem(x^5-1,x^2+x+1,x, 'q');q;

Discriminant:

> discrim(x^3+a*x+b,x);

Evaluer, ordonner, transformer un polynôme:

> subs(x=1+2*I,y=I,Q);

Ordonner Q selon les puissances décroissantes de y:

> sort(expand(Q),y);

Développer:

> expand((x-3*y+a)*(1-a^2+x+y));

Regrouper les monômes de l'expression en l'indéterminée a :

> collect((x-3*y+a)*(1-a^2+x+y),a);

Mettre P sous la forme de Hörner:

> P;H:=convert(P,horner);

> with(codegen,cost);

Ce qui est moins coûteux en opérations:

> cost(P),cost(H);

Factoriser sur le corps Q des rationnels

> factor(x^3+x^2+x+1);

Normaliser:

> normal((4*x-3)^2+x-1);

RACINES ET FACTORISATION DES POLYNÔMES:

Valeur approchées des zéros réels ou complexes avec fsolve :

> P:=x^3+x+1:fsolve(P);

> fsolve(P,x,complex);

Localiser les zéros réels dans un intervalle de longueur voulue , ici 10^-3 , avec realroot :

> realroot(P,0.001);

Calcul des zéros avec solve(P) :

> solve(x^4+1);

Par la fonction factor , on peut factoriser sur Q ou sur le corps induit par les coefficients :

> factor(x^4-1);

> factor(x^3-I*x-I+1);

Pour obtenir la factorisation complète:

factor (P,{ ,..., }) autorise Maple à factoriser P sur un corps contenant les nombres algébriques ,...,

> factor(x^4-1,I);

> factor(x^3-x^2+2*x-2);

> factor(x^3-x^2+2*x-2,{I,sqrt(2)});

On peut aussi utiliser Split , qui donne une factorisation complète :

> with(PolynomialTools,Split):P:=Split(x^4-1,x);

RootOf désigne ici toute racine du polynôme _Z²+1, on peut simplifier l'écriture en

utilisant alias :

> alias(alpha=RootOf(_Z^2+1)):P;

Pour calculer les valeurs possibles de alpha :

> allvalues(RootOf(_Z^2+1));

La fonction roots donne les zéros avec leur ordre de multiplicité:
x^2+1 n'a aucun zéro sur Q:

> roots(x^2+1);

On calcule ses zéros sur le corps Q(I) induit par les coefficients:

> roots(x^2+1,I);

FRACTIONS RATIONNELLES : de type ratpoly

> F:=(2*x^2+x-3)^2/(x^4-1);numer(F),denom(F);

F := (2*x^2+x-3)^2/(x^4-1)

> simplify(F);

(2*x+3)*(2*x^2+x-3)/(x^3+x^2+x+1)

Factorisation sur IR ou C:

factorisation sur IR:

> factor(F);

(2*x+3)^2*(x-1)/(x+1)/(x^2+1)

factorisation sur C:

> factor(F,I);

(x-1)*(2*x+3)^2/(x+I)/(x-I)/(x+1)

retour à la forme normale:

> normal(%,expanded);

(4*x^3+8*x^2-3*x-9)/(x^3+x^2+x+1)

Décomposition en éléments simples sur IR ou C:

convert(F,parfrac, x ) décompose en éléments simples la fraction rationnelle F en l'indéterminée x .
convert(F,parfrac, x, { ,..., } ) autorise Maple à décomposer sur un corps contenant les nombres algébriques ,...,

Décomposition sur IR:

> convert(F,parfrac,x);

4-1/(x+1)+(-12+5*x)/(x^2+1)

Décomposition sur C:

> convert(F,parfrac,x,I);

4+(5/2-6*I)/(x+I)-(5/2+6*I)/(-x+I)-1/(x+1)

Exercice corrigé 5:

Ex 5.1: Décomposer en éléments simples sur F := 1/(x^4+1)

> F:=1/(x^4+1);

F := 1/(x^4+1)

> convert(F,parfrac,x);

1/(x^4+1)

F n'est pas décomposée. Voyons les racines du dénominateur:

> {solve(denom(F))};

On obtient la décomposition sur IR par:

> convert(F,parfrac,x,sqrt(2));

-1/4*(-2+x*sqrt(2))/(x^2-x*sqrt(2)+1)+1/4*(2+x*sqrt...

On obtient la décomposition sur C par:

> convert(F,parfrac,x,{I,sqrt(2)});

(-1/4+1/4*I)*2^(1/2)/(2*x-sqrt(2)+I*sqrt(2))-(1/4+1...

Ex 5.2: Soit .

Montrer que les zéros du polynôme dérivé P' sont 3 termes consécutifs d'une suite arithmétique.

> P:=X*(X-1)*(X-2)*(X-3):dP:=diff(expand(P),X);

> zeros:=[solve(dP)];

On trie les éléments de la liste par ordre croissant , sort ne fonctionnant pas ici :

> tri:=proc(L::list)
        local x,y,Z;
            Z:=L;
            for x to nops(Z)-1 do
                for y from x+1 to nops(Z) do
                      if evalf(Z[y]-Z[x])<0 then Z:=subsop(x=Z[y],y=Z[x],Z) end if;
                end do;
            end do;
            Z;
    end proc: