Le formalisme mathématique
Le XIXe siècle est le siècle de la réflexion sur l'analyse – la théorie des fonctions, des dérivées, des intégrales. Un travail impressionnant amène à découvrir, à côté des fonctions « classiques » comme sin x des passagers clandestins : par exemple une courbe sans tangente. Il devient alors nécessaire de se pencher sur la nature des objets mathématiques. C'est à cette question que prétend répondre la Théorie des Ensembles de Cantor, élaborée dans les années 1880, mais qui ne prendra sa forme définitive qu'au début du XXe siècle. La théorie des ensembles permet de reconstruire les nombres réels – utilisés en analyse – à partir des entiers naturels 0, 1, 2, …, qui eux, sont définis à partir de rien, du moins le pense-t-on : ainsi 0 c'est l'ensemble vide.
La Théorie des Ensembles est souvent présentée comme le langage des mathématiques. Rien n'est plus faux : s'il fallait manier les nombres réels en suivant leur définition « ensembliste », on ne pourrait plus résoudre... une simple équation du second degré. Ce qui est vrai par contre, c'est que la Théorie des Ensembles énonce pour la première fois l'unité de principe des mathématiques. Le fait de pouvoir – en principe seulement, mais c'est énorme – ramener toutes les mathématiques à des constructions ensemblistes, nous permet d'utiliser indifféremment des méthodes d'analyse ou d'algèbre – la calcul avec des lettres, des variables, des équations – pour résoudre un problème : elles ne se contrediront pas. Ce qui contraste avec la Physique, constituée d'îlots reliés par des passerelles incertaines[1].
Dans cette entreprise d'unification, un rôle central est dévolu à l’arithmétique – la mathématique des entiers naturels. C'est autour de 1900 qu'apparaît l'Arithmétique de Peano, un des formalismes les plus puissants qui soient.
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